Viga de un solo vano

Vamos a resolver una viga de un vano con maxima:

Las ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio en una viga, si la carga es una ley continua, son dos integrales:

1. El cortante (v) tiene que equilibrar la suma de las fuerzas que actúan sobre la viga: Integrando la ley de cargas obtenemos la ley de cortantes
2. De la misma forma, integrando la ley de cortantes, obtenemos la ley de momentos (m).
   

Recordemos que la integral de una función no es una función inequívoca, si no una familia de funciones. O dicho de otra manera, aparece la constante de integración, que es el valor de la integral en el origen (v0, m0).

Las condiciones del material

La relación tensión deformación en una viga a flexión se traduce en una ecuación muy sencilla:

c=m/EI

Siendo c la curvatura (el inverso del radio de curvatura), I la inercia del perfil y E el módulo de Young del material.

El problema geométrico

Ahora todo se reduce a geometría: Si tenemos la curvatura en todos los puntos de la viga, deberíamos poder deducir la flecha en cada punto:

1. El giro (g) (o pendiente) es la integral de la curvatura
2. La flecha (f) es la integral de la pendiente

Las condiciones de borde

Cada vez que integramos generamos una constante de integración, que en principio es una incógnita. Tenemos por tanto 4 incógnitas, para las que necesitamos 4 ecuaciones. Nos las darán las condiciones de apoyo de una forma muy sencilla (Cada extremo, dos ecuaciones):

1. ¿Está impedido el descenso?
   
   1. Sí: El descenso en ese punto vale cero: f=0
      
   2. No: El cortante en ese punto vale cero: v=0
   
   
2. ¿Está impedido el giro?
1. Sí: El giro en ese punto vale cero: g=0
   
2. No: El momento en ese punto vale cero: m=0

Breve introducción a Maxima

Maxima es un programa que nació en los 70. Tiene una interfaz gráfica que se llama wxMaxima.
Este blog no pretende ser un manual exhaustivo (que ya está escrito), ni uno de primeros pasos (que también). Explicaré todas las funciones que use, pero recomiendo que acudáis al manual de Mario Rodríguez Riotorto, que es con el que estoy aprendiendo yo...

Usaremos:

• ; :Punto y coma para terminar la orden (y esperar respuyesta)
• : :Dos puntos para asignar un valor (o función) a una variable.
• %: Para referirnos a la última respuesta
  
• Integrate(A,B): Integra la función A respecto de B
• Subst([A1=B1, A2=B2...], C): Sustituye por B todos los valores A que encuentre en la expresion C
• Solve([lista de acuaciones], [lista de incógnitas]): Resuelve un sistema de acuaciones
• /*...*/: Para añadir comentarios

Con CTRL+INTRO ejecutamos el comando

Empezamos

Empezamos con una ley de carga constante, q, aunque podríamos haber empezado con cualquier ley continua. La carga repartida constante es, probablemente, la más habitual.
El principio sólo hay que integrar:

(%i1) v:integrate(q, x)+v0;

(%i2) m:integrate(%, x)+m0;

(%i3) c:%/EI;

(%i4) g:integrate(%, x)+g0;

(%i5) f:integrate(%, x)+f0;

Llegado este punto, procedemos a resolver el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que nos definirá las constantes de integración. Por mucho que haya términos a la cuarta, es un problema lineal, porque todas las condiciones nos darán un valor de x que debemos sustituir:

(%i6) /*Viga biempotrada: los apoyos ni bajan ni giran: 4 ecuaciones, 4 incógnitas */
ec1:subst(x=0,f)=0;
ec2:subst(x=l,f)=0;
ec3:subst(x=0,g)=0;
ec4:subst(x=l,g)=0;

(%i10) solve([ec1,ec2,ec3,ec4], [v0,m0,g0,f0]);
/*tenemos todas las constantes de integración*/

(%i11) fbiempotrada:subst([v0=-l*q/2, m0=l^2*q/12, g0=0, f0=0],f);
/*Y las utilizamos para la función flecha*/

(%i12)subst(x=l/2,%);
/*La flecha en el centro del vano (x=l/2)*/

Que es lo que ya sabíamos...
Otro día haremos una viga biapoyada, una apoyada-empotrada, un voladizo, o una viga de varios vanos en continuidad...